1. 泰勒中值定理，阿基米德中值定理？
所谓的阿基米德中值定理又称阿氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。阿基米德中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
阿基米德的《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为阿基米德中值定理。
2. 函数求极限用中值定理的条件是什么？
比如题目中有函数值相减的证明题用拉格朗日中值定理，或者出现高阶导数用泰勒中值定理，还有题目中出现一些函数值相减，用拉格朗日中值定理，等等，多做题，多积累。
3. 皮亚诺余项怎么来的？
皮亚诺余项只是泰勒展开中的余项，只是说原来的方程不完全等于展开项，还有加上一个修正，它是展开最后一项的无穷小，只是一个修正 所以不用在这上面太纠结。
泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。
一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。
4. 泰勒公式详细推导过程？
泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。
另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间
5. 考研可以写拉氏中值定理吗？
一般不建议在考研数学题中使用拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）。拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。然而，在考研数学题中，对于中值定理的应用往往更多地使用柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）或罗尔中值定理（Rolle's Theorem）。柯西中值定理和罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，更为常用。柯西中值定理是指对于两个函数在某个区间上连续且在该区间内导函数存在的情况下，存在一点使得这两个函数在该点上的导数之差等于它们在区间端点上的函数值之差的比值。罗尔中值定理是一种特殊情况，指对于函数在某个区间上连续且在该区间内可导的情况下，如果函数在区间端点上取相同的函数值，那么在该区间内至少存在一点使函数的导数等于零。综上所述，考研数学题中应用柯西中值定理和罗尔中值定理比较常见，而拉格朗日中值定理使用较少。因此，建议在考研数学题中不使用拉格朗日中值定理。
6. 泰勒公式余项推导过程？
泰勒公式（Taylor's formula） 带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导, f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.） 使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导.其中o((x-x0)^n)表示n阶无穷小. Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值.Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等
7. 拉格朗日中值定理的本质？
拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)。法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理,并进行了初步证明,因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。
